算法解析

\[J(x) = \frac{1}{2} (x - x^b)^T \mathrm{B}^{-1} (x - x^b) + \frac{1}{2} [H(x) - y]^T \mathrm{R}^{-1} [H(x) - y]\]

定义 :

• first guess

  \[x^g\]

• 分析增量（analysis increment）

  \[\delta{x} : x = x^g + \delta{x}\]

• innovation vector

  \[d = y – H(x^g)\]

代价函数的增量形式

\[J(\delta{x}) = \frac{1}{2} (\delta{x} - \delta{x^g})^T \mathrm{B}^{-1} (\delta{x} - \delta{x^g}) + \frac{1}{2} (\mathrm{H}\delta{x} - d)^T \mathrm{R}^{-1} (\mathrm{H}\delta{x} - d)\]

其中:

\[\delta{x^g} = x^b - x^g\]

起始点:

\[\delta{x} = 0\]

\[x^g = x^b\]

定义:

\[\mathrm{B} = \mathrm{U} \mathrm{U}^T\]

其中：

\[\mathrm{U} = \mathrm{U_p} \mathrm{U_v} \mathrm{U_h}\]

• \(\mathrm{U_p}\) 是物理转换

• \(\mathrm{U_v}\) 是垂直转换

• \(\mathrm{U_h}\) 是水平转换

分析增量可以写为：

\[\delta{x} = \mathrm{U} v\]

其中, \(v\) 为控制变量（Control variables)

所以，代价函数可以写为：

\[J(v) = \frac{1}{2} (v - v^g)^T(v - v^g) + \frac{1}{2} (\mathrm{H}\mathrm{U}v - d)^T \mathrm{R}^{-1} (\mathrm{H}\mathrm{U}v - d)\]